Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象（部分）如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，f（A）=1，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由已知利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求A的值，由正弦定理可得從而表示出l=a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，從而利用和差化積公式求最值；

解答 解：（1）由題意可知A=2，T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，從而解得：ω=2，
因?yàn)椋寒?dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2，
所以：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
因?yàn)椋簗φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：φ=$\frac{π}{6}$，
所以：函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），可得：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的周長l=a+b+c
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）
=2+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$
=2+4cos$\frac{B-C}{2}$，
故當(dāng)B=C=$\frac{π}{3}$時(shí)，有最大值6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于�？碱}型，屬于中檔題．