Question

已知數(shù)列{a_n}，其滿足條件a₁=

5

3

，3a_n+1-2a_n=2n+5，
（1）求證：數(shù)列{a_n-2n+1}為等比數(shù)列；
（2）已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，對一切n∈N^*，有不等式S_n≥log₂m+1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)3a_n+1-2a_n=2n+5化簡得a_n+1=

2

3

an+

2

3

n+

5

3

，代入

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

化簡，并求出所證數(shù)列的首項，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證明結(jié)論；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項公式化簡求出a_n，將數(shù)列看成由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和，利用分組求和法和等比、等差數(shù)列的前n項和公式求出S_n的表達式，利用對應(yīng)的單調(diào)性求出S_n的最小值，根據(jù)恒成立列出不等式，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)實數(shù)m的取值范圍．

解答： 證明：（1）由題意得，3a_n+1-2a_n=2n+5，則a_n+1=

2

3

an+

2

3

n+

5

3

，
所以

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2 3 an+ 2 3 n+ 5 3 -2n-1

an-2n+1

=

2 3 an- 4 3 n+ 2 3

an-2n+1

=

2

3

，
又a₁=

5

3

，所以a₁-2+1=

2

3

，
所以數(shù)列{a_n-2n+1}以

2

3

為首項、公比的等比數(shù)列；（6分）
解：（2）由（1）知，a_n-2n+1=(

2

3

)n，所以a_n=(

2

3

)n+2n-1，
則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n+[1+3+…+(2n-1)]
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

+

n(1+2n-1)

2

=2[1-(

2

3

)n]+n2，
所以S_n隨著n的增大而增大，當n=1時，S_n取到最小值

5

3

，
因為對一切n∈N^*，有不等式S_n≥log₂m+1恒成立，
所以

5

3

≥log₂m+1，則log₂m≤

2

3

=

log

2 2 3 2

，
即0＜m≤2

2

3

=

3	4

，
所以實數(shù)m的取值范圍是（0，

3	4

]．

點評：本題考查遞推公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的判定方法、通項公式，等比、等差數(shù)列的前n項和公式，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及利用分組求和法，利用數(shù)列的函數(shù)特性解決恒成立問題，同時考查了運算求解的能力，綜合性很強．