Question

已知雙曲線兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，其中F₁為y=-

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(x+1)2+1的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A （-3，2）B （1，2）都在雙曲線上，
（1）求點(diǎn)F₁的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)F₂的軌跡方程；
（3）若直線y=x+t與F₂的軌跡方程有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線x²=-4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象平移得到y=-

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(x+1)2+1的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出F₂的坐標(biāo)，結(jié)合A，B在雙曲線上由雙曲線的定義列式求得點(diǎn)F₂的軌跡方程；
（3）聯(lián)立直線方程和F₂的軌跡方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用判別式等于0求得t的值．

解答： 解：（1）由y=-

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(x+1)2+1，得（x+1）²=-4（y-1），
∵x²=-4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
∴（x+1）²=-4（y-1）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）設(shè)F₂（x，y），則||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，
即|

(-3+1)2+(2-0)2

-

(-3-x)2+(2-y)2

|=|

(1+1)2+(2-0)2

-

(1-x)2+(2-y)2

|，
整理得：x²+2x+2y²-8y+1=0（x≠-1）；
（3）聯(lián)立

y=x+t x2+2x+2y2-8y+1=0

，得：3x²+（4t-6）x+2t²-8t+1=0．
△=（4t-6）²-12（2t²-8t+1）=-8t²+48t+24=0，解得：t=3±2

3

．
∴直線y=x+t與F₂的軌跡方程有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)t的取值是3±2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，是中檔題．