Question

13．下列函數(shù)在其定義域中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷各個選項中的函數(shù)的奇偶性，化簡后由基本初等函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而得出答案．

解答 解：因y=x+1的圖象不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，不符合題意；
y=-x²在定義域R上為偶函數(shù)，不符合題意；
因函數(shù)y=x|x|的定義域為R，且（-x）|-x|=-x|x|，所以為奇函數(shù)，
又y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=x|x|在[0，+∞），（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∵0²=-0²，∴該函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)，符合題意；
由于函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，但在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函數(shù)，不符合題意．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷，以及含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，熟練掌握基本初等函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．