Question

1．設點P，Q分別是曲線y=xe^-x（e是自然對數(shù)的底數(shù)）和直線y=x+3上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值為（　�。�

• A． $\frac{（4e-1）\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{（4e+1）\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 對曲線y=xe^-x進行求導，求出點P的坐標，分析知道，過點P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點P，從而求出P點坐標，根據(jù)點到直線的距離進行求解即可．

解答 解：∵點P是曲線y=xe^-x上的任意一點，和直線y=x+3上的動點Q，
求P，Q兩點間的距離的最小值，就是求出曲線y=xe^-x上與直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離．
由y′=（1-x）e^-x ，令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
當x=0，y=0時，點P（0，0），
P，Q兩點間的距離的最小值，即為點P（0，0）到直線y=x+3的距離，
∴d_min=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點評 此題主要考查導數(shù)研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導數(shù)與斜率的關系，這是高考常考的知識點，是基礎題．