Question

10．若命題“?x∈[1，2]，x²+2ax+a＞0”恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{1}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 若命題“?x∈[1，2]，x²+2ax+a＞0”恒成立，則a＞-$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$在x∈[1，2]時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得答案．

解答 解：若命題“?x∈[1，2]，x²+2ax+a＞0”恒成立，
則a＞-$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
令y=-$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，
則y′=-$\frac{2x（x+1）}{（2x+1）^{2}}$＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
故y=-$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$在x∈[1，2]時(shí)為減函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值-$\frac{1}{3}$，
故a＞-$\frac{1}{3}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：$（-\frac{1}{3}，+∞）$；
故答案為：$（-\frac{1}{3}，+∞）$

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了恒成立問(wèn)題，函數(shù)的值域與最值，難度中檔．