Question

17．定義：若曲線τ由橢圓T₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和橢圓T₂：$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（b＞c＞0）組成，當(dāng)a、b、c成等比數(shù)列時(shí)，稱曲線τ為“貓眼曲線”．若“貓眼曲線”τ過點(diǎn)P（0，-$\sqrt{2}$），且a、b、c的公比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求“貓眼曲線”τ的方程；
（2）任作斜率為k（k≠0）且不過原點(diǎn)的直線與該曲線τ相交，且交橢圓T₁所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓T₂所得弦的中點(diǎn)為N，設(shè)OM、ON的斜率分別是k_OM、k_ON，求$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$的值；
（3）若斜率為1的直線l交橢圓T₁于點(diǎn)A、B，交橢圓T₂于點(diǎn)C、D，且滿足$\frac{|AB|}{|CD|}$=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：b=$\sqrt{2}$，$\frac{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入分別求得a和c的值，即可求得“貓眼曲線”τ的方程；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將E，F(xiàn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用”點(diǎn)差法“求得k•k_OM=-$\frac{1}{2}$，同理求得k•k_ON=-2，即可求得$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$的值；
（3）設(shè)直線方程y=x+m，分別代入T₁和T₂，求得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式分別求得丨AB丨和丨CD丨，根據(jù)$\frac{|AB|}{|CD|}$=2，即可求得m的值，求得直線方程．

解答 解：（1）由題意知，b=$\sqrt{2}$，$\frac{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，c=1，
∴T₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，T₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1．
（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線交橢圓T₁于點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）線段EF中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
因?yàn)閗存在且k≠0，
∴x₁≠x₂，x₀≠0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2}$，即k•k_OM=-$\frac{1}{2}$，
同理k•k_ON=-2，
∴$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$=$\frac{1}{4}$；
（3）設(shè)直線l的方程為：y=x+m，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_A，y_A），D（x_B，y_B），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-4=0，
由韋達(dá)定理可知：x_A+x_B=-$\frac{4m}{3}$，x_A•x_B=$\frac{2{m}^{2}-4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2mx+m²-2=0，
由韋達(dá)定理可知：x_C+x_D=-$\frac{2m}{3}$，x_C•x_D=$\frac{{m}^{2}-2}{3}$，
∴$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{A}-{x}_{B}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{C}-{x}_{D}丨}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}}{\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}-4{x}_{C}{x}_{D}}}$=$\frac{\sqrt{48-8{m}^{2}}}{\sqrt{24-8{m}^{2}}}$=2，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
所以直線l的方程為y=x±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查直線方程的求得，考查綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．