Question

7．如圖，足球門框的長AB為2dw（1dw=3.66m），設(shè)足球?yàn)橐稽c(diǎn)P，足球與A，B連線所成的角為α（0°＜α＜90°）．
（1）若隊(duì)員射門訓(xùn)練時(shí)，射門角度α=30°，求足球所在弧線的方程；
（2）已知點(diǎn)D到直線AB的距離為3dw，到直線AB的垂直平分線的距離為2dw，若教練員要求隊(duì)員，當(dāng)足球運(yùn)至距離點(diǎn)D為$\sqrt{2}$dw處的一點(diǎn)時(shí)射門，問射門角度α最大可為多少？

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線為y軸，AB的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出過AB的圓的方程，即可求足球所在弧線的方程；
（2）由題意，設(shè)過AB的圓的圓心為（a，0），半徑為$\sqrt{{a}^{2}+1}$，該圓與以D（3，2）為圓心，$\sqrt{2}$的圓外切時(shí)，射門角度α最大．

解答 解：（1）以AB所在直線為y軸，AB的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

∵AB=2，α=30°，∴2R=$\frac{AB}{sin30°}$=4，∴R=2，
∴圓心坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0），
∴足球所在弧線的方程為（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4（0＜x≤2-$\sqrt{3}$）；
（2）由題意，設(shè)過AB的圓的圓心為（a，0），半徑為$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
該圓與以D（3，2）為圓心，$\sqrt{2}$的圓外切時(shí)，射門角度α最大，則$\sqrt{（a-3）^{2}+4}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴半徑為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2}{sinα}$=2$\sqrt{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴射門角度α最大可為135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．