Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），點（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓C上，點T滿足$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$（其中O為坐標原點），過點F作一斜率為k（k＞0）的直線交橢圓于P、Q兩點（其中P點在x軸上方，Q點在x軸下方）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若k=1，求△PQT的面積；
（3）設點P′為點P關于x軸的對稱點，判斷$\overrightarrow{P′Q}$與$\overrightarrow{QT}$的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由題意列關于a，b的方程組，求解方程組得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程求得P，Q的坐標，由向量等式求得T的坐標，再由三角形面積公式求得△PQT的面積；
（3）設設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到P′的坐標，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系得到x₁+x₂，x₁x₂，結合向量關系的坐標表示可得$\overrightarrow{P′Q}$與$\overrightarrow{QT}$共線．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設PQ：y=x-1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3y²+2y-1=0，
解得：P（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），Q（0，-1），
由$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{2}{\sqrt{2-1}}•（1，0）=（2，0）$，得T（2，0），
∴${S}_{△PQT}=\frac{1}{2}$|FT|•|y₁-y₂|=$\frac{2}{3}$；
（3）判斷：$\overrightarrow{P′Q}$與$\overrightarrow{QT}$共線．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則P′（x₁，-y₁），$\overrightarrow{P′Q}$=（x₂-x₁，y₂+y₁），$\overrightarrow{TQ}$=（x₂-2，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∵（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）=（x₂-x₁）k（x₂-1）-（x₂-2）（kx₁-k+kx₂-k）
=3k（x₁+x₂）-2kx₁x₂-4k=3k$•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2k$•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-4k
=k（$\frac{12{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-4$）=0．
∴$\overrightarrow{P′Q}$與$\overrightarrow{QT}$共線．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，訓練了利用平面向量的坐標運算判斷兩向量的平行關系，是中檔題．