Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，AB=A₁A=a，BA₁=AC，A₁C⊥AB．
（I）求證：AA₁⊥BC；
（II）把四棱錐A₁-BCC₁B₁繞直線BC旋轉(zhuǎn)一個角到A′-BB′C′C，使平面ABC與BB′C′C重合，求該旋轉(zhuǎn)角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）過A₁作A₁H⊥底面ABC，H為垂足，連接CH、BH、AH，推導(dǎo)出H為△ABC的垂心，由此能證明AA₁⊥BC．（II）由題知所求旋轉(zhuǎn)過的角就是二面角B₁-BC-B′，推導(dǎo)出$∠{B}_{1}B{B}^{'}$為二面角${B}_{1}-BC-{B}^{'}$的平面角，$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=∠A₁AH，由此能求出所求旋轉(zhuǎn)過的角的余弦值．

解答 證明：（I）過A₁作A₁H⊥底面ABC，H為垂足，連接CH、BH、AH，
A₁B⊥AC，A₁H⊥AC，A₁B與A₁H相交，
∴AC⊥面A₁BH，…（2分）
又BH在面A₁BH內(nèi)，∴BH⊥AC，…（3分）
同理CH⊥AB，∴H為△ABC的垂心…（4分）
∴AH⊥BC，又A₁H⊥BC，AH與A₁H相交，
∴BC⊥面A₁AH．又A₁A在面A₁AH內(nèi)，
∴AA₁⊥BC．…（6分）
解：（II）由題知所求旋轉(zhuǎn)過的角就是二面角B₁-BC-B′，…（7分）
∵AA₁∥BB₁，由（I）知BB₁⊥BC，從而BB′⊥BC，
∴$∠{B}_{1}B{B}^{'}$為二面角${B}_{1}-BC-{B}^{'}$的平面角…（8分）
又BB′∥AH（在底面內(nèi)AH，BB′同時垂直于BC），
∴$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=∠A₁AH（$∠{B}_{1}B{B}^{'}$和∠A₁AH的兩邊分別平行，且方向相同）．…（9分）
∵AB=AA₁=a，又H為△ABC的垂心，△ABC為正三角形，
∴H為△ABC的中心，在Rt△A₁AH中，
cos∠A₁AH=$\frac{AH}{A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{2}{3}×（\frac{\sqrt{3}}{2}a）}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
即所求旋轉(zhuǎn)過的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．