【題目】已知為橢圓的左、右頂點， 為其右焦點， 是橢圓上異于的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓在點處的切線交于點，當點在橢圓上運動時，求證:以 為直徑的圓與直線恒相切.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析: （1）由題意知知，由此能求出橢圓的方程；
（2）設直線的方程為， 得.，由此利用韋達定理、點到直線距離公式、直線與圓相切等知識點結合已知條件能證明當點在橢圓上運動時，以 為直徑的圓與直線恒相切．

試題解析：(1)設橢圓的方程為,

由題意知解之得,

故橢圓的方程為.

(2)證明：設直線的方程為.

則點坐標為中點的坐標為.

由得.

設點的坐標為，則.

.

點坐標為,

當時，點的坐標為,直線軸，點的坐標為.

此時以為直徑的圓與直線相切.

當時，則直線的斜率.

直線的方程為.

點E到直線的距離.

又因為.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當點在橢圓上運動時，以為直徑的圓與直徑恒相切.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風設施，該設施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點E為AB的中點．△EMN是通風窗，（其余部分不通風）MN是可以沿設施的邊框上下滑動且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．

（1）設MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成的函數(shù)；

（2）當MN與C之間的距離為多少時，△EMN面積最大？并求出最大值．

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【題目】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗．測得的數(shù)據(jù)如下：

零件數(shù)x（個）

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

加工時間y（分）

62

68

75

81

89

95

102

108

115

122

（1）y與x是否具有線性相關關系？

（2）如果y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程；

（3）根據(jù)求出的回歸直線方程，預測加工200個零件所用的時間為多少？

附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.

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【題目】為選拔選手參加“中國詩詞大會”，某中學舉行一次“詩詞大賽”活動.為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計.按照， ， ， ， 的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在， 的數(shù)據(jù)）.

（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中、的值；

（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生參加“中國謎語大會”，設隨機變量表示所抽取的2名學生中得分在內(nèi)的學生人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】(2016高考新課標II，理15)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________.

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【題目】全國大學生機器人大賽是由共青團中央，全國學聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創(chuàng)的機器人競技平臺.全國大學生機器人大賽比拼的是參賽選手們的能力，堅持和態(tài)度，展現(xiàn)的是個人實力以及整個團隊的力量.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰(zhàn)隊踴躍報名，這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京大學，清華大學，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過嚴格篩選，最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2015年全國大學生機器人大賽的激烈角逐之中，某大學共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊.

（1）應從大三抽取多少個團隊？

（2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分數(shù)如下：

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140

從甲、乙兩組中選一組強化訓練，備戰(zhàn)機器人大賽.

（i）從統(tǒng)計學數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？

（ii）從乙組中不低于140分的團隊中任取兩個團隊，求至少有一個團隊為144分的概率.

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數(shù)列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.

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【題目】某次考試結束，甲、乙、丙三位同學聚在一起聊天.甲說：“你們的成績都沒有我高”乙說：“我的成績一定比丙高 ”丙說：“你們的成績都比我高 ”成績公布后，三人成績互不相同且三人中恰有一人說得不對，若將三人成績從高到低排序，則甲排在第______名

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（2）若PA＝4，求底面圓心O到平面PBC的距離.

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