Question

【題目】已知為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)， 是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證:以 為直徑的圓與直線恒相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析: （1）由題意知知，由此能求出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為， 得.，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓相切等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合已知條件能證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以 為直徑的圓與直線恒相切．

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,

由題意知解之得,

故橢圓的方程為.

(2)證明：設(shè)直線的方程為.

則點(diǎn)坐標(biāo)為中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由得.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

.

點(diǎn)坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

直線的方程為.

點(diǎn)E到直線的距離.

又因?yàn)?/span>.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直徑恒相切.