Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x|+ax+a．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x∈[-1，2]，使得f（x）≥|x|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡f（x）的解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得f（x）的最小值．
（Ⅱ）令g（x）=|x²-2x|+ax+a-|x|，由題意可得當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，g（x）≥0恒成立．分類討論，分別求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，∵f（x）=|x²-2x|+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x＜0}\\{{-x}^{2}+3x+1，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的最小值為1．
（Ⅱ）若任意x∈[-1，2]，使得f（x）≥|x|恒成立，
即|x²-2x|+ax+a-|x|≥0．
令g（x）=|x²-2x|+ax+a-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a-1）x+a，x＜0}\\{{-x}^{2}+（a+1）x+a，0≤x≤2}\\{{x}^{2}+（a-3）x+a，x＞2}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，g（x）≥0恒成立
若x∈[-1，0），則g（x）=x²+（a-1）x+a≥0，即a≥$\frac{x{-x}^{2}}{x+1}$；此時(shí)，$\frac{x{-x}^{2}}{x+1}$＜0．
若x=0，則g（x）=-x²+（a-1）x+a=a≥0，即a≥0；
若x∈（0，2]，則g（x）=-x²+（a+1）x+a≥0，即a≥$\frac{{x}^{2}-x}{x+1}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-3（x+1）+2}{x+1}$=（x+1）-3+$\frac{2}{x+1}$，
由于m（x）=（x+1）-3+$\frac{2}{x+1}$在（0，$\sqrt{2}$-1）上單調(diào)遞減，在[$\sqrt{2}$-1，3]上單調(diào)遞增，
m（0）=0，m（2）=$\frac{2}{3}$，故m（x）在（0，2]上的最大值為$\frac{2}{3}$，∴a≥$\frac{2}{3}$．
綜上可得，a≥$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查帶有絕對真的函數(shù)，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．