Question

1．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足a（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=b+c．
（I） 求角A的大��；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+A）的最小正周期為π，求f（x）的減區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，又sinC≠0，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），即可解得A的值．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)周期公式可求ω，可得函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），即可解得f（x）的減區(qū)間．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）在△ABC中，由題意及正弦定理可得：sinA（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=sinB+sinC，…（2分）
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，…（4分）
整理可得：$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
又∵C為三角形內(nèi)角，sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，…（6分）
∴2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA）=1，即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{3}$…（8分）
（Ⅱ）由題意，ω=$\frac{2π}{π}$=2，…（10分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），可得：kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，（k∈Z），
∴f（x）的減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）…（12分）
注：不寫出k∈Z，扣1分．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．