Question

設(shè)f（x）=lnx+

a

x

（a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（1）=-1，f（1）=2，從而可得切線方程；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，則x＞a，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0），
（1）由于a=2，可得f′(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

（x＞0），
則f′（1）=-1，f（1）=2
∴切線方程：y-2=-1（x-1），即x+y-3=0；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，則x＞a
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）
故當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，a）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)．