Question

6．已知2sinα=1+cosα，則tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$或無(wú)解．

Answer 1

分析 將已知等式兩邊平方整理可得：5cos²α+2cosα-3=0，解得cosα的值，分類討論：當(dāng)cosα=1時(shí)，tan$\frac{α}{2}$無(wú)解；當(dāng)cosα=$\frac{3}{5}$時(shí)，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$．

解答 解：∵2sinα=1+cosα，
∴兩邊平方，整理可得：5cos²α+2cosα-3=0，
∴解得：cosα=-1，或$\frac{3}{5}$，
∴當(dāng)cosα=1時(shí)，α=2kπ+π，k∈Z，解得：$\frac{α}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，則tan$\frac{α}{2}$無(wú)解；
當(dāng)cosα=$\frac{3}{5}$時(shí)，有，cosα=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{3}{5}$，解得：tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$．
故答案為：$±\frac{1}{2}$或無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，一元二次方程的解法及應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和分類討論思想，屬于中檔題．