Question

15．在△ABC中，a=2，A=$\frac{π}{4}$，若此三角形有兩解，則b的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理和b和sinB求得b和sinB的關(guān)系，利用A求得B+C；要使三角形兩個(gè)這兩個(gè)值互補(bǔ)先看若B≤$\frac{π}{4}$，則和B互補(bǔ)的角大于$\frac{3π}{4}$進(jìn)而推斷出A+B＞π與三角形內(nèi)角和矛盾；進(jìn)而可推斷出$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{3π}{4}$若B=$\frac{π}{2}$，這樣補(bǔ)角也是$\frac{π}{2}$，一解不符合題意進(jìn)而可推斷出sinB的范圍，利用sinB和b的關(guān)系求得b的范圍．

解答 解：∵a=2，A=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2\sqrt{2}$，解得b=2$\sqrt{2}$sinB，
∵B+C=π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，由B有兩個(gè)值，則這兩個(gè)值互補(bǔ)，
若B≤$\frac{π}{4}$，
則和B互補(bǔ)的角大于$\frac{3π}{4}$，這樣A+B＞π，不成立，
∴$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{3π}{4}$，
又若B=$\frac{π}{2}$，這樣補(bǔ)角也是$\frac{π}{2}$，一解，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinB＜1，
b=2$\sqrt{2}$sinB，
所以2＜b＜2$\sqrt{2}$．
故答案為：（2，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解三角形與不等式的綜合，考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．