Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•cosx，g（x）=x•sinx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈[-

π

2

，0]，不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）試探究x∈[-

π

2

，

π

2

]時，方程f（x）-g（x）=0解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)，得到函數(shù)在點（0，f（0））處的導數(shù)值，再求得f（0），然后利用直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）利用導數(shù)求出函數(shù)在[-

π

2

，0]上的最小值，函數(shù)g（x）在[-

π

2

，0]上的最大值，把不等式f（x）≥g（x）+m恒成立轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值間的關(guān)系求得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中的單調(diào)性即可說明方程f（x）-g（x）=0在[-

π

2

，0]上有一解，再利用導數(shù)判斷兩函數(shù)在
（0，

π

2

]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值說明在（0，

π

2

]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x•cosx，得f′（x）=e^xcosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx）．
∴f′（0）=e⁰（cos0-sin0）=1，又f（0）=e⁰cos0=1，
∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x+1；
（Ⅱ）∵f′（x）=e^x•cosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx），
當x∈[-

π

2

，0]時f′（x）＞0，f（x）在[-

π

2

，0]上為增函數(shù)，
則f(x)min=f(-

π

2

)=e-

π

2

cos(-

π

2

)=0，
g′（x）=sinx+xcosx，
當x∈[-

π

2

，0]時，g′（x）≤0，g（x）在[-

π

2

，0]上為減函數(shù)，
則g(x)max=g(-

π

2

)=-

π

2

sin(-

π

2

)=

π

2

．
要使不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，則0≥

π

2

+m恒成立，
∴m≤-

π

2

．
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

π

2

]；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x∈[-

π

2

，0]時，f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，
且f（-

π

2

）＜g（-

π

2

），f（0）＞g（0），
∴在[-

π

2

，0]上方程f（x）-g（x）=0有一解；
當x∈（0，

π

2

]時，g′（x）=sinx+xcosx＞0，
函數(shù)g（x）在（0，

π

2

]上為增函數(shù)，
當x∈（0，

π

4

）時，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＞0，
當x∈（

π

4

，

π

2

]時，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＜0，
∴在（0，

π

2

]上f（x）有極大值，
而f（

π

4

）=

2

2

e

π

4

＞

2

2

•

π

4

=g（

π

4

），
f(

π

2

)=0，g（

π

2

）=1．
∴在（0，

π

2

]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．
∴x∈[-

π

2

，

π

2

]時，方程f（x）-g（x）=0解的個數(shù)是2個．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了函數(shù)零點的判斷方法，分類討論是解答該提的關(guān)鍵，是壓軸題．