Question

14．定義有限數(shù)集A中的最大元素與最小元素之差為A的“長(zhǎng)度”，如：集合A₁={1，2，4}的“長(zhǎng)度”為3，集合A₂={3}的“長(zhǎng)度”為0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，則U的所有非空子集的“長(zhǎng)度”之和為201．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合集合長(zhǎng)度的定義，對(duì)集合A的子集分6種情況討論，每種情況下分析符合條件的子集的數(shù)目，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，集合長(zhǎng)度的定義，對(duì)集合A的子集分類討論：
①、長(zhǎng)度為0的子集，共6個(gè)：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，
②、長(zhǎng)度為1的子集，必須為兩個(gè)元素的集合，且其元素為相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，共5個(gè)：
即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，
③、長(zhǎng)度為2的子集，即子集中最大最小元素差為2，
其中最小、最大元素有4種情況：即1、3，2、4，3、5，4、6；
每種情況有2個(gè)子集，
則共有8個(gè)子集，
④、長(zhǎng)度為3的子集，即子集中最大最小元素差為3，
其中最小、最大元素有3種情況：即1、4，2、5，3、6；
每種情況有4個(gè)子集，
則共有12個(gè)子集，
⑤、長(zhǎng)度為4的子集，即子集中最大最小元素差為4，
其中最小、最大元素有2種情況：即1、5，2、6；
每種情況有8個(gè)子集，
則共有16個(gè)子集，
⑥、長(zhǎng)度為6的子集，即子集中最大最小元素差為5，
其中最小、最大元素有1種情況：即1、6；
則共有16個(gè)子集，
則U的所有非空子集的“長(zhǎng)度”之和為：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；
故答案為：201．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及集合的子集的定義，關(guān)鍵是明確集合長(zhǎng)度的定義，進(jìn)而進(jìn)行分類討論．