Question

1．設(shè)x是一個正數(shù)，記不超過x的最大的正整數(shù)為[x]，令{x}=x-[x]，且{x}，[x]，x成等比數(shù)列，則x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由{x}，[x]，x成等比數(shù)列，可得[x]²={x}•x=（x-[x]）•x，解出即可得出．

解答 解：∵{x}，[x]，x成等比數(shù)列，
∴[x]²={x}•x=（x-[x]）•x，
解得[x]=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，
∵$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=1．
∴可設(shè)x=k•$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（k∈N^*）．
∴$[\frac{\sqrt{5}+1}{2}k]$=k，
當(dāng)k=1時，上式成立；
k≥2時，不成立．
∴x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、取整函數(shù)[x]的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．