Question

13．已知實數(shù)x，y滿足x²+y²-xy=2，則x²+y²+xy的取值范圍（　　）

• A． （-∞，6]
• B． [0，6]
• C． [$\frac{2}{3}$，6]
• D． [1，6]

Answer 1

分析 設(shè)x²+y²+xy=A，分別求得x²+y²和2xy，分別構(gòu)造（x+y）²≥0及（x-y）²≥0，解關(guān)于A的不等式，即可求得A的取范圍．

解答 解：設(shè)x²+y²+xy=A，
∵x²+y²-xy=2，
兩式相加可得，2（x²+y²）=2+A      （1）
兩式相減得得：2xy=A-2      （2）
（1）+（2）×2得：
2（x²+y²）+4xy=2（x+y）²=3A-2≥0
∴A≥$\frac{2}{3}$，
（1）-（2）×2得：
2（x-y）²=-A+6≥0，
∴A≤6 
綜上：$\frac{2}{3}$≤A≤6，
故選：C．

點評 本題考查構(gòu)造法求未知數(shù)的取值范圍，運用（x+y）²≥0及（x-y）²≥0，考查分析問題及解決問題能力，屬于中檔題．