Question

6．已知x滿(mǎn)足條件2（${log}_{\frac{1}{2}}$x）²+9${log}_{\frac{1}{2}}$x+9≤0，求函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 令${log}_{\frac{1}{2}}$x=t，由題意求出$\frac{3}{2}$≤log₂x≤3，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．

解答 解：令${log}_{\frac{1}{2}}$x=t，
∵2（${log}_{\frac{1}{2}}$x）²+9${log}_{\frac{1}{2}}$x+9≤0，
∴2t²+9t+9≤0，
解得-3≤t≤-$\frac{3}{2}$，
∴-3≤${log}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$≤log₂x≤3，
∵f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-log₂3）（log₂x-2），
再令m=log₂x，則$\frac{3}{2}$≤m≤3，
∴f（m）=（m-log₂3）（m-2）=m²-（2+log₂3）m+2log₂3，
∵對(duì)稱(chēng)軸m=1+log₂$\sqrt{3}$，且$\frac{3}{2}$＜1+log₂$\sqrt{3}$＜3，
∴f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$×（2+log₂3）+2log₂3=$\frac{9}{4}$-3+$\frac{1}{2}$log₂3=log₂$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$＜$\frac{1}{4}$
f（3）=9-3（2+log₂3）+2log₂3=3-log₂3＞1，
∴f（3）＞f（$\frac{3}{2}$），
∴函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）的最大值3-log₂3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，一元二次不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．