Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-2x．
（I）若函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{1}{4}$，2]內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2$a≥\frac{1-2x}{x^2}={（\frac{1}{x}-1）^2}-1$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$可變形為$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{3}{2}x+lnx-b=0$，令$g（x）=\frac{1}{4}{x^2}-\frac{3}{2}x+lnx-b（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的極值和端點(diǎn)值，得到關(guān)于b的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-2=$\frac{-2ax2-2x+1}{x}$                       …（1分）
由題意f'（x）≤0在x∈[$\frac{1}{4}$，2]時(shí)恒成立，即2$a≥\frac{1-2x}{x^2}={（\frac{1}{x}-1）^2}-1$
在x∈[$\frac{1}{4}$，2]時(shí)恒成立，即$2a≥{[{（\frac{1}{x}-1）^2}-1]_{max}}$，…（4分）
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，${（\frac{1}{x}-1）^2}-1$取最大值8，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥4．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$可變形為$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{3}{2}x+lnx-b=0$．
令$g（x）=\frac{1}{4}{x^2}-\frac{3}{2}x+lnx-b（x＞0）$，
則$g'（x）=\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$．…（8分）
列表如下：

x	1	（1，2）	2	（2，4）	4
g'（x）		-	0	+
g（x）	$-b-\frac{5}{4}$	↘	極小值	↗	2ln2-b-2

∴g（x）_極小值=g（2）=ln2-b-2，$g（1）=-b-\frac{5}{4}$，…（10分）
又g（4）=2ln2-b-2，
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（2）＜0\\ g（4）≥0\end{array}\right.$，…（11分）
得$ln2-2＜b≤-\frac{5}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．