Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），則下列說法正確的個數(shù)是（　　）
①直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸
②函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
③函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos2x的圖象
④函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值為-1．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式，根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ=cos（2x+φ）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），
故cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，解得：φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）；
對于①，當x=$\frac{5}{12}$π時，f（x）取最小值-1，故①直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸，故①正確；
對于②，當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，故②函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，故②正確；
對于③，函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，故③錯誤；
對于④，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故2x+$\frac{π}{6}$=π，即x=$\frac{5}{12}$π時，函數(shù)取最小值-1．故④函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值為-1．故④正確；
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．