Question

10．已知圓C經(jīng)過點（1，$\sqrt{3}$），圓心在直線y=x上，且被直線y=-x+2截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l過點（$\frac{3}{2}$，0），與圓C交于P，Q兩點，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據(jù)圓心在直線上和弦長公式，即可求得a，b，r；
（2）利用向量坐標化，求得直線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圓心在y=x上
∴b=a①
∵$圓經(jīng)過點（1，\sqrt{3}）$
∴$（1-a）^{2}+（\sqrt{3}-b）^{2}={r}^{2}②$
∵$圓被直線y=-x+2截得的弦長為2\sqrt{2}$
∴${r}^{2}=rljwcnp^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}③$
$又∵d=\frac{|a+b-2|}{\sqrt{2}}$④
聯(lián)立以上四式得，a=b=0，r=2
∴圓的方程為x²+y²=4
（2）當直線l斜率為0時，此時，l：y=0，不滿足題意；
當直線l斜率不為0時，設(shè)l方程為：x=my+$\frac{3}{2}$，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{3}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得：$（{m}^{2}+1）{y}^{2}+3my-\frac{7}{4}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-3my}{{m}^{2}+1}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-7}{4（{m}^{2}+1）}}\end{array}\right.$
∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=${（m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}+\frac{3}{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{9}{4}=-2$
代入得，${m}^{2}=\frac{5}{4}即m=±\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴$直線方程為2x±\sqrt{5}y-3=0$．

點評 本題考查了圓的方程，向量坐標化．