18.設(shè)f(x)=sin(x+$\frac{5π}{2}$)cos(x-$\frac{π}{2}$)-cos2(x+$\frac{π}{4}}$).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f($\frac{A}{2}}$)=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,a=1,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)=sin2x-$\frac{1}{2}$,利用$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$,$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z$,可求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由已知可求sinA,又A為銳角,可得A=$\frac{π}{3}$,利用正弦定理可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得周長(zhǎng)L=1+2sin(C+$\frac{π}{6}$),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

解答 解:(1)由題意知$f(x)=\frac{sin2x}{2}-\frac{{1+cos({2x+\frac{π}{2}})}}{2}$=$\frac{sin2x}{2}-\frac{1-sin2x}{2}=sin2x-\frac{1}{2}$,
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$,可得$-\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ,k∈Z$,
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z$,可得$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{3π}{4}+kπ,k∈Z$,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是:$[{-\frac{π}{4}+kπ,\frac{π}{4}+kπ}]({k∈Z})$;
單調(diào)遞減區(qū)間是:$[{\frac{π}{4}+kπ,\frac{3π}{4}+kπ}]({k∈Z})$.
(2)因?yàn)椋篺($\frac{A}{2}}$)=sinA-$\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,
所以:sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,又A為銳角,可得A=$\frac{π}{3}$,
由a=1,利用正弦定理可得:$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以:b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,
∴△ABC周長(zhǎng)L=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin($\frac{2π}{3}$-C)+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+2sin(C+$\frac{π}{6}$),
故當(dāng)sin(C+$\frac{π}{6}$)取最大值1時(shí),△ABC周長(zhǎng)取最大值為3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了正弦定理、余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于基本知識(shí)的考查.

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(2)若直線l過(guò)點(diǎn)($\frac{3}{2}$,0),與圓C交于P,Q兩點(diǎn),且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2,求直線l的方程.

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7.寫(xiě)出命題“?x∈R,使得x2<0”的否定:?x∈R,均有x2≥0.

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8.某班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中,成績(jī)?nèi)橛?0與100之間,測(cè)試結(jié)果的頻率分布表如表:
     分組(分?jǐn)?shù)段)    頻數(shù)(人數(shù))  頻率
[50,60)a    0.04
[60,70)9    0.18
[70,80)20    0.40
[80,90)16          0.32
[90,100]b   c
合計(jì)50         1.00
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)頻率分布表寫(xiě)出a,b,c的值,并完成頻率分布直方圖;

(Ⅱ)從測(cè)試成績(jī)?cè)赱50,60)或[90,100]內(nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué),設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為m,n,求事件“|m-n|>10”的概率.

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