Question

1．設(shè)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）若f （x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的最值，討論a的范圍，利用f （x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+x+2    令f′（x）=0，x=2或x=-1
f′（x）＞0解得-1＜x＜2    f′（x）＞0解得 x＞2或x＜-1
所以f（x）在（2，4），）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增．---------------------（3分）-
所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=$\frac{10}{3}$．．
又f（4）-f（1）=-$\frac{27}{2}$+6＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值為f（4）=8-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$．------------------------------（6分）-
（2）由f′（x）=-x²+x+2a=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+2a，
當(dāng)x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）的最大值為f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$+2a，令$\frac{2}{9}$+2a＞0，得a＞-$\frac{1}{9}$，
所以，當(dāng)a＞-$\frac{1}{9}$時(shí)，f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．------------------------------（12分）-

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．