Question

10．如圖，在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2．直角梯形AA₁C₁C通過直角梯形AA₁B₁B以直線AA₁為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B．M為線段BC的中點(diǎn)，P為線段BB₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C₁⊥AP；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P是線段BB₁中點(diǎn)時(shí)，求二面角P-AM-B的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)P，使得直線A₁C∥平面AMP？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥AB．結(jié)合AC⊥AA₁，證明AC⊥平面AA₁B₁B．推出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B．即可證明A₁C₁⊥AP．
（Ⅱ）以AC，AB，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABM的一個(gè)法向量，平面APM的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P-AM-B的余弦值．
（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得直線A₁C∥平面AMP．設(shè)P（x₁，y₁，z₁），求出平面AMP的一個(gè)法向量，求出$\overrightarrow{{A_1}C}=（2，0，-2）$，利用$\overrightarrow{{A_1}C}⊥{n_0}$．求出λ，即可證明結(jié)果．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）證明：由已知∠A₁AB=∠A₁AC=90°，且平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B，
所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．
又因?yàn)锳C⊥AA₁且AB∩AA₁=A，
所以AC⊥平面AA₁B₁B．
由已知A₁C₁∥AC，所以A₁C₁⊥平面AA₁B₁B．
因?yàn)锳P?平面AA₁B₁B，
所以A₁C₁⊥AP．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA₁兩兩垂直．
分別以AC，AB，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

由已知 AB=AC=AA₁=2A₁B₁=2A₁C₁=2，
所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B₁（0，1，2），A₁（0，0，2）．
因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn)，P為線段BB₁的中點(diǎn)，所以$M（1，1，0），P（0，\frac{3}{2}，1）$．
易知平面ABM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ \frac{3}{2}y+z=0.\end{array}\right.$
取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，2，-3）．
由圖可知，二面角P-AM-B的大小為銳角，
所以$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
所以二面角P-AM-B的余弦值為$\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$．…（9分）
（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得直線A₁C∥平面AMP．
設(shè)P（x₁，y₁，z₁），且$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{B{B_1}}$，λ∈[0，1]，則（x₁，y₁-2，z₁）=λ（0，-1，2），
所以x₁=0，y₁=2-λ，z₁=2λ．所以$\overrightarrow{AP}=（0，2-λ，2λ）$．
設(shè)平面AMP的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{0}}$=（x₀，y₀，z₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}+{y_0}=0\\（2-λ）{y_0}+2λ{(lán)z_0}=0.\end{array}\right.$
取y₀=1，得$\overrightarrow{{n}_{0}}=（-1，1，\frac{λ-2}{2λ}）$（顯然λ=0不符合題意）．
又$\overrightarrow{{A_1}C}=（2，0，-2）$，若A₁C∥平面AMP，則$\overrightarrow{{A_1}C}⊥{n_0}$．
所以$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{n}_{0}}=-2-\frac{λ-2}{2λ}=0$．所以$λ=\frac{2}{3}$．
所以在線段BB₁上存在點(diǎn)P，且$\frac{BP}{{P{B_1}}}=2$時(shí)，使得直線A₁C∥平面AMP．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體求解二面角的平面鏡，證明直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，空間想象能力計(jì)算能力．