Question

5．如圖所示，直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，由P，Q分別作拋物線的切線交于M，如果|PF|=a，|QF|=b，則|MF|的值為（　�。�

• A． a+b
• B． $\frac{1}{2}（a+b）$
• C． ab
• D． $\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 求出切線MP，MQ的斜率，利用y₁y₂=-p²，可得k_MPk_MQ=-1，利用射影定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：由拋物線y²=2px得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（$\frac{p}{2}$，0）．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵y²=2px，∴y′=$\frac{p}{y}$，
∴k_MP=$\frac{p}{{y}_{1}}$，k_MQ=$\frac{p}{{y}_{2}}$，
∵直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，
∴y₁y₂=-p²，
∴k_MPk_MQ=-1，
∴MP⊥MQ，
∵|PF|=a，|QF|=b，
∴|MF|=$\sqrt{ab}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線斜率，考查射影定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．