Question

9．已知直線l是曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=lnx，x∈（0，1）的一條公切線，若直線l與曲線C₁的切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t滿足（　　）

• A． 0＜t＜$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$＜t＜1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$＜t＜$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)P（t，t²），切線與曲線C₂的交點(diǎn)為（s，lns）（0＜s＜1），分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率及方程，運(yùn)用兩直線重合的條件，消去s，可得t²-ln（2t）-1=0，令f（t）=t²-ln（2t）-1，t＞$\frac{1}{2}$，再由零點(diǎn)存在定理，即可判斷t的范圍．

解答 解：設(shè)P（t，t²），切線與曲線C₂的交點(diǎn)為（s，lns）（0＜s＜1），
y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，即有切線的斜率為2t，
可得直線l的方程為y-t²=2t（x-t），即為y=2tx-t²；
y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，即有切線的斜率為$\frac{1}{s}$，
可得切線的方程為y-lns=$\frac{1}{s}$（x-s），即為y=$\frac{1}{s}$x+lns-1．
則有2t=$\frac{1}{s}$，-t²=lns-1，0＜s＜1，t＞$\frac{1}{2}$，
可得t²-ln（2t）-1=0，令f（t）=t²-ln（2t）-1，
f′（t）=2t-$\frac{1}{t}$=$\frac{2（t-\frac{\sqrt{2}}{2}）（t+\frac{\sqrt{2}}{2}）}{t}$，
即有f（t）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）遞增，
由f（$\sqrt{2}$）=2-ln（2$\sqrt{2}$）-1＜0，f（$\sqrt{3}$）=3-ln（2$\sqrt{3}$）-1＞0，
可得f（t）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查直線方程的運(yùn)用，以及函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．