Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*
（1）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．所以b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．
（2）由題設(shè)條件知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，于是，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2[12•（$\frac{3}{2}$）^n-2+a-3]，由此可以求得a的取值范圍是[-9，+∞）．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，
得S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1=2S_n+3n．
則S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．
∵b_n=S_n-3ⁿ，
∴b_n+1=2b_n，
∵b₁=S₁-3¹=a-3，
當(dāng)a≠3時，b₁=a-3≠0．
∴數(shù)列{b_n}是以a-3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=（a-3）•2^n-1，
驗證a=3時上式成立
∴b_n=（a-3）•2^n-1，
（2）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，
于是，當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）2^n-2=2^n-2[12•（$\frac{3}{2}$）^n-2+a-3]，
當(dāng)n≥2時，a_n+1≥a_n?12•（$\frac{3}{2}$）^n-2+a-3?a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁．
綜上，所求的a的取值范圍是[-9，+∞）．

點評 本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要仔細審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，屬于中檔題．