Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x）=f（${\frac{x+1}{x+2}}$）的所有x值的和為-4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得：若f（x）=f（${\frac{x+1}{x+2}}$），則必有|x|=|$\frac{x+1}{x+2}$|，即±x=$\frac{x+1}{x+2}$，分別化簡(jiǎn)x=$\frac{x+1}{x+2}$與-x=$\frac{x+1}{x+2}$，可得x²+x-1=0和x²+3x+1=0，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得每個(gè)方程的兩根之和，將其相加即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，
則f（x）在（-∞，0）上也單調(diào)，
若f（x）=f（${\frac{x+1}{x+2}}$）
則必有|x|=|$\frac{x+1}{x+2}$|，即±x=$\frac{x+1}{x+2}$，
若x=$\frac{x+1}{x+2}$，則必有x（x+2）=x+1，
即x²+x-1=0，其兩根之和x₁+x₂=-1，
若-x=$\frac{x+1}{x+2}$，則必有-x（x+2）=x+1，
即x²+3x+1=0，其兩根之和x₃+x₄=-3，
故方程|x|=|$\frac{x+1}{x+2}$|有4個(gè)解，且4個(gè)解之和x₁+x₂+x₃+x₄=-4；
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)的含義．