Question

7．某統(tǒng)計(jì)局為了調(diào)查居民支出狀況，隨機(jī)調(diào)查該市10戶(hù)家庭的三類(lèi)支出：食品消費(fèi)類(lèi)支出，衣著消費(fèi)類(lèi)支出、居住消費(fèi)類(lèi)支出，每類(lèi)支出都分為A、B、C三個(gè)等級(jí)，現(xiàn)在對(duì)三種等級(jí)進(jìn)行量化：A級(jí)記為2分；B級(jí)記為1分；C級(jí)記為0分，用（x，y，z）表示該家庭的食品消費(fèi)類(lèi)支出、衣著消費(fèi)類(lèi)支出、居住消費(fèi)類(lèi)支出的得分情況，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定該家庭的得分等級(jí)：若ω≥4，則得分等級(jí)為一級(jí)；若2≤ω≤3，則得分等級(jí)為二級(jí)；若0≤ω≤1，則得分等級(jí)為三級(jí)，得到如下結(jié)果：

家庭編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（1）在這10戶(hù)家庭中任取兩戶(hù)，求這兩戶(hù)家庭居住消費(fèi)類(lèi)支出得分相同的概率；
（2）從得分等級(jí)是一級(jí)的家庭中任取一戶(hù)，其綜合指標(biāo)為a，從得分等級(jí)不是一級(jí)的家庭中任取一戶(hù)，其綜合指標(biāo)為b，記隨機(jī)變量X=a-b，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A為“從10戶(hù)家庭中隨機(jī)抽取兩戶(hù)，他們的居住消費(fèi)支出得分相同”．居住消費(fèi)支出得分1分的有6戶(hù)，居住消費(fèi)支出得分為2的有4戶(hù)，由此能求出居住消費(fèi)支出得分相同的所有的概率．
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“從10戶(hù)家庭中隨機(jī)抽取兩戶(hù)，他們的居住消費(fèi)支出得分相同”．
居住消費(fèi)支出得分1分的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀，
居住消費(fèi)支出得分為2的有A₁，A₃，A₆，A₈，
從10戶(hù)家庭中隨機(jī)抽取兩戶(hù)的所有結(jié)果為${C}_{10}^{2}$=45，
居住消費(fèi)支出得分相同的所有結(jié)果數(shù)為${C}_{6}^{2}+{C}_{4}^{2}$=21，
所以居住消費(fèi)支出得分相同的所有的概率為P（A）=$\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．…5分
（2）計(jì)算10戶(hù)家庭的綜合指標(biāo)，可得下表：

人員編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
綜合指標(biāo)	4	4	6	1	4	5	3	5	4	3

其中綜合指標(biāo)是一級(jí)的（ω≥4）有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，共7戶(hù)，
綜合指標(biāo)不是一級(jí)的（ω《4）有A₄，A₇，A₁₀共3戶(hù)．…7分
隨機(jī)變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{6}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{21}$，…9分
所以X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{6}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

所以EX=$1×\frac{8}{21}+2×\frac{4}{21}+3×\frac{6}{21}+4×\frac{2}{21}+5×\frac{1}{21}$=$\frac{47}{21}$．  …12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．