Question

7．某統(tǒng)計局為了調(diào)查居民支出狀況，隨機調(diào)查該市10戶家庭的三類支出：食品消費類支出，衣著消費類支出、居住消費類支出，每類支出都分為A、B、C三個等級，現(xiàn)在對三種等級進行量化：A級記為2分；B級記為1分；C級記為0分，用（x，y，z）表示該家庭的食品消費類支出、衣著消費類支出、居住消費類支出的得分情況，再用綜合指標ω=x+y+z的值評定該家庭的得分等級：若ω≥4，則得分等級為一級；若2≤ω≤3，則得分等級為二級；若0≤ω≤1，則得分等級為三級，得到如下結(jié)果：

家庭編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（1）在這10戶家庭中任取兩戶，求這兩戶家庭居住消費類支出得分相同的概率；
（2）從得分等級是一級的家庭中任取一戶，其綜合指標為a，從得分等級不是一級的家庭中任取一戶，其綜合指標為b，記隨機變量X=a-b，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設事件A為“從10戶家庭中隨機抽取兩戶，他們的居住消費支出得分相同”．居住消費支出得分1分的有6戶，居住消費支出得分為2的有4戶，由此能求出居住消費支出得分相同的所有的概率．
（2）隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設事件A為“從10戶家庭中隨機抽取兩戶，他們的居住消費支出得分相同”．
居住消費支出得分1分的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀，
居住消費支出得分為2的有A₁，A₃，A₆，A₈，
從10戶家庭中隨機抽取兩戶的所有結(jié)果為${C}_{10}^{2}$=45，
居住消費支出得分相同的所有結(jié)果數(shù)為${C}_{6}^{2}+{C}_{4}^{2}$=21，
所以居住消費支出得分相同的所有的概率為P（A）=$\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．…5分
（2）計算10戶家庭的綜合指標，可得下表：

人員編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
綜合指標	4	4	6	1	4	5	3	5	4	3

其中綜合指標是一級的（ω≥4）有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，共7戶，
綜合指標不是一級的（ω《4）有A₄，A₇，A₁₀共3戶．…7分
隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{6}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{21}$，…9分
所以X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{6}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

所以EX=$1×\frac{8}{21}+2×\frac{4}{21}+3×\frac{6}{21}+4×\frac{2}{21}+5×\frac{1}{21}$=$\frac{47}{21}$．  …12分．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．