Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

3

的正方形，平面ACC₁⊥ABCD，BC₁=CC₁，直線DB與平面BCC₁B₁成30°角，
（1）求證：平面BC₁D⊥平面ABCD；
（2）求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，取BC中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，連結(jié)C₁E，OE，C₁F，OF，由已知得BC⊥C₁O，再由平面ACC₁⊥ABCD，得C₁O⊥平面ABCD，由此能證明平面BC₁D⊥平面ABCD．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答： （1）證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，
取BC中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，連結(jié)C₁E，OE，C₁F，OF，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

3

的正方形，
平面ACC₁⊥ABCD，BC₁=CC₁，
∴C₁E⊥BC，OE⊥BC，OF⊥AB，
又OE∩∩C₁E=E，∴BC⊥平面C₁OE，∴BC⊥C₁O，
∵OF∥BC，∴OF⊥C₁O，
∵平面ACC₁⊥ABCD，∴C₁O⊥平面ABCD，
∵C₁O?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面ABCD．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ABCD是邊長(zhǎng)為2

3

的正方形，設(shè)OC₁=t，
則B（0，

3

，0），D（0，-

3

，0），C₁（0，0，t），C（-

3

，0，0），

BD

=（0，-2

3

，0），

BC1

=（0，-

3

，t），

BC

=（-

3

，-

3

，0），
設(shè)平面BCC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC1 =- 3 y+tz=0 n • BC =- 3 x- 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-

3

t

），
∵直線DB與平面BCC₁B₁成30°角，
∴sin30°=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

2 3

2 3 • 2+ 3 t2

|=

1

2

，
解得t=

6

2

或t=-

6

2

（舍）
∴C1O=

6

2

，
∴S_{正方形ABCD}=2

3

×2

3

=12，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=S_{正方形ABCD}×C₁O=12×

6

2

=6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查四棱柱的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．