Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x}{a}$，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），h'（x）表示h（x）的導(dǎo)函數(shù)，求證：對于h（x）的圖象上不同兩點(diǎn) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h'（x₀）．

Answer 1

分析 （1）由題意，可得f（1）=0，即可求得a的大�。�
（2）要證存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀），只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′（x₀）=k${\;}_{{x}_{1}{x}_{2}}$．由f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，即證存在x₀∈（x₁，x₂），使得 $\frac{1}{{x}_{0}}$-a=$\frac{ln{x}_{2}-a{x}_{2}-ln{x}_{1}+a{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，即方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．由零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 （1））解：由題意，f（1）=0，得，$ln\frac{1}{a}$=0，所以a=1，…（2分）
（2）證明：h（x）=lnx-ex．∵h(yuǎn)'（x₀）=k _AB，∴$\frac{1}{x_0}-e=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}-e（{{x_2}-{x_1}}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_0}-ln\frac{x_2}{x_1}=0$，即${x_0}ln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）=0$，…（6分）
設(shè)$φ（x）=xln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$，則φ（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，
故要在區(qū)間（x₁，x₂）證明存在唯一性，只需證明φ（x）在（x₁，x₂）上滿足φ（x₁）•φ（x₂）＜0．
下面證明之：$φ（{x_1}）={x_1}ln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$，$φ（{x_2}）={x_2}ln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$，
為了判斷φ（x₁），φ（x₂）的符號(hào)，可以分別將x₁，x₂看作自變量得到兩個(gè)新函數(shù)φ（x₁），φ（x₂），
討論他們的最值：$φ（{x_1}）={x_1}ln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$，將x₁看作自變量求導(dǎo)得$φ'（{x_1}）=ln\frac{x_2}{x_1}＞0$，
∴φ（x₁）是x₁的增函數(shù)，∵x₁＜x₂，∴$φ（{x_1}）＜φ（{x_2}）={x_2}ln\frac{x_2}{x_2}-（{{x_2}-{x_2}}）=0$；
同理：$φ（{x_2}）={x_2}ln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$，將x₂看作自變量求導(dǎo)得$φ'（{x_2}）=ln\frac{x_2}{x_1}＞0$，
∴φ（x₂）是x₂的增函數(shù)，∵x₁＜x₂，∴$φ（{x_2}）＜φ（{x_1}）={x_1}ln\frac{x_1}{x_1}-（{{x_1}-{x_1}}）=0$；
∴φ（x₁）•φ（x₂）＜0，∴函數(shù)$φ（x）=xln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$在（x₁，x₂）內(nèi)有零點(diǎn)x₀…（10分）
又$\frac{x_2}{x_1}＞1$，∴$ln\frac{x_2}{x_1}＞0$，函數(shù)$φ（x）=xln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$在（x₁，x₂）是增函數(shù)，
∴函數(shù)$φ（x）=xln\frac{x_2}{x_1}-（{{x_2}-{x_1}}）$在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x₀，從而命題成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和函數(shù)方程的思想，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．