Question

10．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是AA₁和CC₁的中點(diǎn)，且BE⊥B₁F．
（Ⅰ）求證B₁F⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-BEC₁的體積．

Answer 1

分析 （I）分別取BC₁，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)DE，AG，DG，則可證四邊形AGDE是平行四邊形，AG⊥平面BCC₁B₁，于是AG⊥B₁F，從而DE⊥B₁F，結(jié)合BE⊥B₁F得出B₁F⊥平面BEC₁；
（II）由B₁F⊥平面BEC₁得出B₁F⊥BC₁，從而Rt△B₁C₁F∽R(shí)t△BB₁C₁，根據(jù)相似比求出BB₁，于是V${\;}_{{B}_{1}-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{E-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△B{B}_{1}C}$•AG．

解答 證明：（Ⅰ）分別取BC₁，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)DE，AG，DG，
∵D，G分別是BC₁，BC的中點(diǎn)，
∴DG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁，又AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁，
∴四邊形AGDE是平行四邊形，
∴DE∥AG．
∵△ABC是等邊三角形，G是BC的中點(diǎn)，
∴AG⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，又BB₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，BB₁∩BC=B，
∴AG⊥平面BCC₁B₁，∵B₁F?平面BCC₁B₁，
∴AG⊥B₁F，又∵DE∥AG．
∴DE⊥B₁F，又B₁F⊥BE，BE?平面BEC₁，DE?平面BEC₁，BE∩DE=E，
∴B₁F⊥平面BEC₁．
（Ⅱ）∵B₁F⊥平面BEC₁．BC₁?平面BEC₁，
∴B₁F⊥BC₁，∴Rt△B₁C₁F∽R(shí)t△BB₁C₁，∴$\frac{B{B}_{1}}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{C}_{1}F}$，
設(shè)BB₁=a，則C₁F=$\frac{a}{2}$，∴$\frac{a}{2}=\frac{2}{\frac{a}{2}}$，解得a=2$\sqrt{2}$．
∵G是BC的中點(diǎn)，∴AG=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{E-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△B{B}_{1}C}$•AG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，在平面BEC₁內(nèi)構(gòu)造B₁F的垂線DE是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．