Question

11．若a，b∈R，則下列恒成立的不等式是（　�。�

• A． $\frac{{|{a+b}|}}{2}$≥$\sqrt{|{ab}|}$
• B． $\frac{a}$+$\frac{a}$≥2
• C． $\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}$≥（${\frac{a+b}{2}}$）²
• D． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥4（a+b）

Answer 1

分析 直接利用基本不等式的性質(zhì)考查各選項(xiàng)即可得到答案．

解答 解：對(duì)于A：$\frac{|a+b|}{2}≥\sqrt{ab}$，當(dāng)ab同號(hào)的時(shí)，不等式成立，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)，不成立，故A不對(duì)；
對(duì)于B：$\frac{a}+\frac{a}≥2$，當(dāng)ab同號(hào)的時(shí)，不等式成立，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)，$-（\frac{a}+\frac{a}）≥2\sqrt{\frac{a}\frac{a}}=2$，那么$\frac{a}+\frac{a}≤-2$，故B不對(duì)；
對(duì)于C：∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}-\frac{（a+b）^{2}}{4}=\frac{{a}^{2}+^{2}-2ab}{4}=\frac{（a-^{2}）}{4}$≥0，則有：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$，故C對(duì)；
對(duì)于D：$（a+b）（\frac{1}{a+b}）=2+\frac{a}+\frac{a}$，當(dāng)ab同號(hào)的時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}≥2$，原不等式成立，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)，$-（\frac{a}+\frac{a}）≥2\sqrt{\frac{a}\frac{a}}=2$，那么$\frac{a}+\frac{a}≤-2$，原不等式不成立，故D不對(duì)；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的變形與運(yùn)用．比較綜合性．屬于中檔題．