Question

18．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦點F（c，0）的直線l與C相交于A、B兩點，l交y軸于E點，C的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．當(dāng)直線l斜率為1時，點（0，b）到l的距離為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若M（t，0）滿足：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）直線l的方程為：y=x-c，點（0，b）到l的距離為$\sqrt{2}$，可得$\frac{|0-b-c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即b+c=2，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可得出．
（II）F（1，0），可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），E（0，-k），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)及其$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，可得：t=$\frac{2+2{k}^{4}}{1-2{k}^{2}}$，令2k²-1=m∈（-1，0）∪（0，+∞），則t=$\frac{1}{2}（\frac{5}{m}+m+2）$=f（m），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（I）直線l的方程為：y=x-c，點（0，b）到l的距離為$\sqrt{2}$，∴$\frac{|0-b-c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，化為b+c=2，
又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解得：b=c=1，a²=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）F（1，0），可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），E（0，-k），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，
∴（x₁-t，y₁）•（x₂-t，y₂）=（1-t，0）•（-t，-k），
化為：x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂=t²-t，
∴x₁x₂-t（x₁+x₂）+k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-t，
即（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t=0，
∴（1+k²）$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（t+k²）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+t=0，k²≠$\frac{1}{2}$．
化為：t=$\frac{2+2{k}^{4}}{1-2{k}^{2}}$，
令2k²-1=m∈（-1，0）∪（0，+∞），則t=$\frac{2+\frac{1}{2}（1+m）^{2}}{m}$=$\frac{1}{2}（\frac{5}{m}+m+2）$=f（m），
f′（m）=$\frac{1}{2}（1-\frac{5}{{m}^{2}}）$=$\frac{（m+\sqrt{5}）（m-\sqrt{5}）}{2{m}^{2}}$，
∴f（m）分別在m∈（-1，0），m∈（0，$\sqrt{5}$）單調(diào)遞減；在$（\sqrt{5}，+∞）$上單調(diào)遞增．
∴f（m）∈（-∞，-1）∪$[\sqrt{5}+1，+∞）$．
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-1）∪$[\sqrt{5}+1，+∞）$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．