【題目】已知點為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點, 中點為,
求證: .
【答案】(1) .
(2) .
(3)見解析.
【解析】
(1),根據(jù)可得,利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.
(2)設點,利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為,利用點在雙曲線上又可得為定值,故可得的值.
(3)設,切線的方程為:,證明等價于證明,也就是證明 ,聯(lián)立切線方程和雙曲線方程,消元后利用韋達定理可以證明.
(1)設的坐標分別為,
因為點在雙曲線上,所以,即,所以,
在中, ,,所以,
由雙曲線的定義可知: ,
故雙曲線的方程為: .
(2)由條件可知:兩條漸近線分別為;.
設雙曲線上的點,
設的傾斜角為,則,又 ,所以,
故,
所以的夾角為,且.
點到兩條漸近線的距離分別為,.
因為在雙曲線上,所以 ,
所以 .
(3)由題意,即證: ,設,
切線的方程為: .
時,切線的方程代入雙曲線中,化簡得:
( ,
所以,.
又 ,
所以 .
時,易知上述結論也成立.所以.
綜上, ,所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.
(Ⅰ)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為.享受情況如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
員工 項目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
繼續(xù)教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病醫(yī)療 | × | × | × | ○ | × | × |
住房貸款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
贍養(yǎng)老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,PC⊥底面ABCD, 點E為側棱PB的中點.
求證:(1) PD∥平面ACE;
(2) 平面PAC⊥平面PBD.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高一的320名學生,在電腦培訓前后分別參加了一次水平相同的測試,考分都以統(tǒng)一標準劃分成“不合格”“合格”“優(yōu)秀”三個等級.為了了解電腦培訓的效果,用抽簽方式得到其中32名學生的兩次考分等級,所繪制的統(tǒng)計圖如圖所示.請結合圖中信息回答下列問題:
(1)這32名學生經(jīng)過培訓,考分等級“不合格”的百分比由________下降到________;
(2)估計該校高一全體學生中,培訓后考分等級為“合格”和“優(yōu)秀”的學生共有________名.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當時,設函數(shù),且函數(shù)有且僅有一個零點,若當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某股票在30天內(nèi)每股的交易價格(元)與時間(天)組成有序數(shù)對,點落在如圖所示的兩條線段上,該股票在30天內(nèi)的日交易量(萬股)與時間(天)的部分數(shù)據(jù)如表所示:
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該股票每股的交易價格與時間所滿足的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量與時間的一次函數(shù)關系式;
(3)在(1)(2)的結論下,若該股票的日交易額為(萬元),寫出關于的函數(shù)關系式,并求在這30天中第幾天的交易額最大,最大是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年的西部決賽勇士和火箭共進行了七場比賽,經(jīng)歷了殘酷的“搶七”比賽,兩隊的當家球星庫里和杜蘭特七場比賽的每場比賽的得分如下表:
第一場 | 第二場 | 第三場 | 第四場 | 第五場 | 第六場 | 第七場 | |
庫里 | 26 | 28 | 24 | 22 | 31 | 29 | 36 |
杜蘭特 | 26 | 29 | 33 | 26 | 40 | 29 | 27 |
(1)繪制兩人得分的莖葉圖;
(2)分析并比較兩位球星的七場比賽的平均得分及得分的穩(wěn)定程度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖(如:第三季度華為銷量約占50%,蘋果銷量約占20%,三星銷量約占30%).根據(jù)該圖,以下結論中一定正確的是( )
A.華為的全年銷量最大B.蘋果第二季度的銷量大于第三季度的銷量
C.華為銷量最大的是第四季度D.三星銷量最小的是第四季度
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