Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）＜6的解集為（-1，3），求a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在x₀∈R，使f（x₀）≤t-f（-x₀），求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得不等式f（x）＜6的解集為a-3≤x≤3，再根據(jù)不等式f（x）＜6的解集為（-1，3），可得a-3=-1，由此求得a的范圍；
（2）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x-a|+a，
不等式f（x）＜6的解集為（-1，3），
∴|2x-a|＜6-a 的解集為（-1，3），
由|2x-a|＜6-a，可得a-6＜2x+a＜6-a，求得a-3≤x≤3，
故有a-3=-1，a=2．
（2）在（1）的條件下，f（x）=|2x-2|+2，
令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x≤-1}\\{8，-1＜x＜1}\\{4+4x，x≥1}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值為8，
故使f（x）≤t-f（-x）有解的實(shí)數(shù)t的范圍為[8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最小值，函數(shù)的能成立問(wèn)題，屬于中檔題．