Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n≥2恒成立．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=3a_n+3ⁿ，將其轉(zhuǎn)化為$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，$\frac{{a}_{1}}{{3}^{0}}$=2，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a_n；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，由S_n+1＞S_n知數(shù)列{S_n}為遞增數(shù)列，S_n≥S₁=2恒成立．

解答 解：（1）由a_n+1=3a_n+3ⁿ．
$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，
$\frac{{a}_{1}}{{3}^{0}}$=2，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=2+（n-1）=n+1，即${a_n}=（n+1）{3^{n-1}}$，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}=（n+1）{3^{n-1}}$；
（2）證明：${S_n}=2×{3^0}+3×{3^1}+4×{3^2}+…+n×{3^{n-2}}+（n+1）{3^{n-1}}$①
$3{S_n}=2×{3^1}+3×{3^2}+4×{3^3}+…+n×{3^{n-1}}+（n+1）{3^n}$②
①-②得$-2{S_n}=2×{3^0}+{3^1}+{3^2}+{3^3}+…+{3^{n-1}}-（n+1）{3^n}$，
$-2{S_n}=2+\frac{{3-{3^n}}}{1-3}-（n+1）{3^n}$，
$-2{S_n}=\frac{1}{2}-（n+\frac{1}{2}）{3^n}$，
${S_n}=-\frac{1}{4}+（\frac{2n+1}{4}）{3^n}$，
由S_n+1＞S_n知數(shù)列{S_n}為遞增數(shù)列，
∴S_n≥S₁=2
綜上所述原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用遞推公式求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，考查綜合分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．