Question

13．已知n為正整數(shù)，在二項(xiàng)式（${\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展開式中，若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于79．
（1）求n的值；
（2）判斷展開式中第幾項(xiàng)的系數(shù)最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出方程${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=79，解方程即可；
（2）設(shè)該二項(xiàng)式的展開式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，由此列出不等式組，解不等式組即可求出k的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=79，
即1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=79，
整理得n²+n-156=0，
解得n=12或n=-13（不合題意，舍去）
所以n=12；…（5分）
（2）設(shè)二項(xiàng)式${（\frac{1}{2}+2x）}^{12}$=${（\frac{1}{2}）}^{12}$•（1+4x）¹²的展開式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{C_{12}^k•{4^k}≥C_{12}^{k-1}•{4^{k-1}}}\\{C_{12}^k•{4^k}≥C_{12}^{k+1}•{4^{k+1}}}\end{array}}\right.$，
解得9.4≤k≤10.4，
所以k=10，
所以展開式中第11項(xiàng)的系數(shù)最大．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與不等式組的解法問題，是綜合性題目．