Question

3．已知△ABC的面積是3，角A，B．C所對邊長分別為a，b，c，cosA=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）若b=2，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值，利用三角形面積公式可求bc=10，利用平面向量數量積的運算即可計算得解$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．
（Ⅱ）由已知可求c，由余弦定理即可解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$cosA=\frac{4}{5}$，得$sinA=\frac{3}{5}$．
又$\frac{1}{2}$bcsinA=3，$\frac{1}{2}bcsinA=3$，
∴bc=10．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=bccosA=8$．
（Ⅱ）∵b=2，可得：c=5，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=13，
∴解得：$a=\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，三角形面積公式，平面向量數量積的運算，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．