Question

12．在平面直角坐標系中，若P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+4≤0\\ 2x+y-10≤0\\ 5x-2y+2≥0\end{array}\right.$，則當xy取得最大值時，點P的坐標是（$\frac{5}{2}$，5），xy取得的最大值為$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，問題轉(zhuǎn)化為z=x（10-2x）=-2x2+10x（2≤x≤4），求出函數(shù)的最值即可

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
令z=xy，由可行域可知其在第一象限，
故z=xy可看成從點P（x，y）向x軸，y軸引垂線段，所圍成矩形的面積，
故其可能取最大值的位置應在線段2x+y=10（2≤x≤4）上，
z=x（10-2x）=-2x²+10x=-2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，（2≤x≤4），
當x=$\frac{5}{2}$時z取最大值，此時P（$\frac{5}{2}$，5），最大值為$\frac{25}{2}$；
故答案為：（$\frac{5}{2}$，5）；$\frac{25}{2}$．

點評 本小題是線性規(guī)劃的簡單應用，對可行域的求取、對目標函數(shù)的理解都是考生必須掌握的基本技能