A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 在①中,四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{24}{5}$;在②中,三棱錐A-BCD外接球的表面積為25π;在③中,連接AF,CF,得到EF⊥AC,連接DE,BE,得△ACD≌△ACB,得DE=BE,從而EF⊥BD;在④中,以C為原點CB,CD所在直線分別為x,y軸,由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$;在⑤中,當二面角A-BD-C的大小為60°時,AC=$\frac{\sqrt{193}}{5}$.
解答 解:①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直,
四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$,故①不正確;
②三棱錐A-BCD外接球的半徑為$\frac{5}{2}$,
所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4$π×\frac{25}{4}=25π$,故②正確;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點,連接AF,CF則AF=CF,
根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC;
連接DE,BE,得△ACD≌△ACB,
得到DE=BE,所以EF⊥BD,故③正確;
④當二面角A-BD-C為直二面角時,以C為原點CB,CD所在直線分別為x,y軸,
則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$,故④正確.
⑤在直角三角形ABD中,AB=4,AD=3,BD=5,
作AE⊥BD,CF⊥BD,則AE=CF=$\frac{12}{5}$,DE=BF=$\frac{9}{5}$,
同理直角三角形ABC中,則EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$,
在平面ABD內(nèi),過F作FH∥AE,且FH=AE,連接AH,得四邊形AEFH為矩形,
則AH=EF=$\frac{7}{5}$,AH∥EF,
FH⊥DB,又CF⊥DB,
即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角,且為60°,
即CH=CF=$\frac{12}{5}$,
由BD⊥平面CFH,得到BD⊥CH,即有AH⊥CH,
則AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$,故⑤錯誤;
故選:C.
點評 本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $-\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $-\frac{3}{4}$ |
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A. | (a-1)2(a+2) | B. | (a+1)2(a+2) | C. | (a-1)(a+1)(a-2) | D. | (a-1)2(a-2) |
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