17.一個盒子里裝有7個大小形狀相同的球,其中有紅色球4個,編號分別為1,2,3,4;白色球3個,編號分別為2,3,4.從盒子中任取3個球(假設取到任何一個球的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的3個球中,含有編號為2的球的概率;
(Ⅱ)求取出的3個球中,最大編號為3的概率;
(Ⅲ)在取出的3個球中,紅色球的個數(shù)設為X,求隨機變量X的分布列.

分析 (Ⅰ)設“取出的3個球中,含有編號為2的球”為事件A,由互斥事件加法概率計算公式能求出取出的3個球中,含有編號為2的球的概率.
(Ⅱ)設“取出的3個球中,最大編號為3”為事件B,由互斥事件加法概率計算公式能求出取出的3個球中,最大編號為3的概率.
(Ⅲ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.分別求出相應的概率,由此能求出隨機變量X的分布列.

解答 解:(Ⅰ)設“取出的3個球中,含有編號為2的球”為事件A,則$P(A)=\frac{C_2^1C_5^2+C_2^2C_5^1}{C_7^3}=\frac{5}{7}$
所以取出的3個球中,含有編號為2的球的概率為$\frac{5}{7}$…(4分)
(Ⅱ)設“取出的3個球中,最大編號為3”為事件B,則$P(B)=\frac{C_2^1C_3^2+C_2^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{9}{35}$
所以取出的3個球中,最大編號為3的概率為$\frac{9}{35}$…(8分)
(Ⅲ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
$P(X=0)=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$,
$P(X=1)=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$,
$P(X=2)=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$,
$P(X=3)=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$,
所以隨機變量X的分布列是:

 X 0 1 2 3
 P $\frac{1}{35}$ $\frac{12}{35}$ $\frac{18}{35}$ $\frac{4}{35}$
…(13分)

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.

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