Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+9n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$}的前100項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）S_n=n²+9n，n=1，a₁=S₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
（2）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{（2n+8）（2n+12）}$=$\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+6}$．利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²+9n，∴n=1，a₁=S₁=10．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+9n-[（n-1）²+9（n-1）]=2n+8，n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2n+8．
（2）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{（2n+8）（2n+12）}$=$\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+6}$．
數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$}的前100項(xiàng)的和=$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）$+$（\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+6}）$
=$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$-$\frac{1}{n+5}$-$\frac{1}{n+6}$
=$\frac{11}{30}$-$\frac{2n+11}{（n+5）（n+6）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．