Question

4．長方體AC₁的長、寬、高分別為3、2、1，求從A到C₁沿長方體的表面的最短距離．

Answer 1

分析 畫出長方體的側(cè)面展開圖，然后求其三角形的邊長AC₁的長，

解答 解：結(jié)合長方體的三種展開圖不難求得AC₁的長分別是：
（1）將側(cè)面ABB₁A₁和底面A₁B₁C₁D₁展開，則有$A{C_1}=\sqrt{{3^2}+{3^2}}=3\sqrt{2}$，即經(jīng)過側(cè)面ABB₁A₁和底面A₁B₁C₁D₁時的最短距離是$3\sqrt{2}$；
（2）將側(cè)面ABB₁A₁和面BB₁C₁C展開，則有AC₁=$\sqrt{25+1}$=$\sqrt{26}$，即經(jīng)過側(cè)面ABB₁A₁和面BB₁C₁C時的最短距離是$\sqrt{26}$；
（3）將側(cè)面ADD₁A₁和底面A₁B₁C₁D₁展開，則有$A{C_1}=\sqrt{{4^2}+{2^2}}=2\sqrt{5}$，
即經(jīng)過側(cè)面ADD₁A₁和底面A₁B₁C₁D₁時的最短距離是$2\sqrt{5}$．

由于$3\sqrt{2}＜2\sqrt{5}$，$3\sqrt{2}＜2\sqrt{6}$，所以由A到C₁的正方體表面上的最短距離為$3\sqrt{2}$．

點評 求表面上最短距離常把圖形展成平面圖形．考查學生幾何體的展開圖，空間想象能力，是中檔題．