Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}+bx+c，x＜1}\\{alnx，x≥1}\end{array}\right.$圖象過點(diǎn)（-1，2），且在該點(diǎn)處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

分析 （1）求得x＜1時(shí)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由f（-1）=2，解方程可得b，c的值；
（2）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則q（-t，t³+t²），且t≠1．對(duì)t討論，t＞1，0＜t＜1，通過構(gòu)造函數(shù)，求得單調(diào)性，考慮方程-t²+f（t）•（t³+t²）=0有解，即可判斷存在性．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f′（x）=-3x²+2x+b，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=b-5=-5}\\{f（-1）=2}\end{array}\right.$，解得b=c=0．
（2）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，
使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），
則q（-t，t³+t²），且t≠1．
因?yàn)椤鱌OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
即-t²+f（t）•（t³+t²）=0，（1）
是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程（1）是否有解，
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
若t＞1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt，
設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$＞0在[1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當(dāng)a＞0時(shí)，方程$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解，
所以對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，
使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查存在性問題的解法，以及構(gòu)造法的運(yùn)用，分類討論的思想方法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．