Question

已知c＞0且c≠1，設(shè)p：指數(shù)函數(shù)y=（2c-1）^x在R上為減函數(shù)，q：函數(shù)f（x）=

1

3

cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上遞增．若p∧q為假，p∨q為真，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：設(shè)p：指數(shù)函數(shù)y=（2c-1）^x在R上為減函數(shù)，可得0＜2c-1＜1，解出即可．q：由于函數(shù)f（x）=

1

3

cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上遞增，可得f′（x）≥0在R上恒成立，可得△≤0，及c＞0且c≠1，解得才范圍．若p∧q為假，p∨q為真，則p與q必然一真一假．

解答： 解：設(shè)p：指數(shù)函數(shù)y=（2c-1）^x在R上為減函數(shù)，∴0＜2c-1＜1，解得

1

2

＜c＜1．
q：∵函數(shù)f（x）=

1

3

cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上遞增，∴f′（x）=cx²-2（c-2）x+（c+1）≥0在R上恒成立，
又∵c＞0且c≠1，∴△=4（c-2）²-4c（c+1）≤0，解得c≥

4

5

，且c≠1．
若p∧q為假，p∨q為真，則p與q必然一真一假．
∴

1 2 ＜c＜1 0＜c＜ 4 5

或

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c≥ 4 5 c≠1

，
解得

1

2

＜c＜

4

5

或c＞1．
∴c的取值范圍是

1

2

＜c＜

4

5

或c＞1．

點評：本題考查了一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系、三次函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．