Question

7．已知兩向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=3，
（Ⅰ）求|5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值
（Ⅱ）求向量5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用向量的模的運算法則化簡求解即可．
（Ⅱ）直接利用向量的數(shù)量積的運算公式求解向量的夾角的余弦函數(shù)值即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得${|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}={（{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}）^2}=25{\overrightarrow a^2}-10\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}$…（2分）
=$25×{1^2}-10×1×3×（{-\frac{1}{2}}）+{3^2}=49$，…．（4分）
∴$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7                               …..（5分）
（Ⅱ）依題意，得（5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$5{\overrightarrow{a}}^{2}$$-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=5×1²-1×3×cos120°=$\frac{13}{2}$…..（7分）
$cos＜5\overrightarrow{a}-\overrightarrow，\overrightarrow{a}＞$=$\frac{（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{13}{2}}{7×1}$=$\frac{13}{14}$…..10分

點評 本題考查向量數(shù)量積的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．